问题1：在相互观察者原理中，相互坍缩的概率如何确定？

根据双缝实验的诠释，坍缩到某个状态（例如|缝1>⊗|触发>）的概率应该与相互作用矩阵元⟨缝1|触发⟩的模平方成正比。因此，我们可以将玻恩规则引入：坍缩到|A_i>⊗|B_j>的概率正比于 |⟨A_i|B_j⟩|^2。

问题2：信息完备度公式中，对于连续变量如何处理？

我们可以用微分熵来定义连续情况的信息完备度，但需要谨慎处理无穷大问题。一种方法是离散化，或者用相对熵（KL散度）。

问题3：在桌子稳定性证明中，为什么人眼观察不会导致桌子破碎？

因为人眼（作为观测系统）只能与桌子的完整态共振（定义域匹配），而破碎态与人眼态完全不匹配（⟨破碎态|正常>=0），所以破碎态分量被完全抑制（概率为0）。因此，即使初始有0.001的破碎态，在观察后也必然坍缩到完整态。

问题4：暗信息如何量化？

在波函数链分解中，假设初始态为 |Ψ> = Σ c_i |链_i>，经过定义域选择（观测）后，我们只保留了一个链|链_k>，那么被丢弃的链的暗信息定义为：I_暗 = Σ_{i≠k} |c_i|^2。注意，这其实是丢弃链的概率权重之和（即1-|c_k|^2）。但严格来说，暗信息应该包含这些被丢弃分支的相干信息（相位等），因此更精确的暗信息定义可能需要用互信息等概念。

问题5：信息损伤I_损的系数k如何确定？

根据前面的退相干定理，信息损失ΔI与能量耗散ΔE有关：ΔI = (ΔE) / (hν_min) （按最小能量量子化）。结合时间t，我们可以假设I_损 = η·ΔE·t，其中η是常数，与热力学温度有关（可能η=1/(k_B T)）。这需要进一步研究。

下面，我们尝试用数学语言重新表述整个理论：

### 相互观察者原理的数学表述

设系统A和B的初始态分别为：

|Ψ_A> = Σ_i a_i |A_i>, |Ψ_B> = Σ_j b_j |B_j>

复合系统态为直积态：|Ψ> = |Ψ_A> ⊗ |Ψ_B>

相互作用算符Ô_{AB}在特定基（例如位置基）下定义为：

&#212;_{AB} = ∫ dk |A_k><A_k| &#8855; |B_k><B_k| （这里假设了相同的指标k，但更一般可以是非正交的）

更一般的，我们可以将相互作用视为一个测量过程，用POVM元素描述。但为了简单，我们假设存在一组共同本征基。

当两个系统发生相互作用时，定义域选择过程使得复合系统以概率：

P(i,j) = |<A_i|B_j>|^2 * |a_i|^2 * |b_j|^2 / N （归一化因子N）

坍缩到态 |A_i>&#8855;|B_j>。

注意：这里我们假设了相互作用矩阵元正比于<A_i|B_j>，且概率满足玻恩规则。

### 宏观物体稳定性的数学证明（修正）

对于桌子：

|Ψ_table> = √0.999 |完整> + √0.001 |破碎>

|Ψ_eye> = |正常> （人眼初始态）

相互作用：人眼只能与完整态匹配，即：

<完整|正常> = 1, <破碎|正常> = 0 （注意：这里的内积是定义在观察者和被观察者的关联上）

复合系统初始态：|Ψ> = [√0.999 |完整> + √0.001 |破碎>] &#8855; |正常>

相互作用的可能结果：

只有一种可能：|完整>&#8855;|正常>，因为<破碎|正常>=0，所以破碎态分量被完全抑制。

因此，坍缩后的态一定是|完整>&#8855;|正常>，概率为1。

信息变化：

初始桌子态的信息完备度：实际熵 S_initial = -0.999 ln0.999 - 0.001 ln0.001 ≈ 0.0009（以自然对数计），最大熵S_max=ln2（假设只有两个状态），则I_initial = 1 - S_initial/ln2 ≈ 1-0.0009/0.693≈0.9987

坍缩后：桌子态为纯态|完整>，熵为0，信息完备度I_final=1。

所以，桌子的信息完备度增加了0.0013，而人眼的信息不变（因为人眼态始终是|正常>，纯态）。

注意：这里的信息完备度计算中，我们使用了I=1-S_actual/S_max，所以坍缩后I_final=1。

然而，我们之前说宏观物体稳定（信息完备度变化小），这里桌子的信息完备度变化确实很小（0.0013），符合预期。

结论：该理论框架自洽，且为量子退相干、经典世界的涌现、黑洞信息悖论等提供了新的视角。下一步需要建立严格的数学模型，并与现有实验对比。