规则名: 点_匀速移动

　　元信息:

　　对象类型: "动态点"

　　规则精度: "平面浮点32位"

　　输入接口: [初始位置, 速度向量]

　　输出接口: [当前位置]

　　定义域: t ∈ [0, T_max]

　　生成函数:

　　p(t) = 初始位置 + 速度向量 × t

　　执行过程示例:

　　t=0: p(0) = (0,0) + (0.1,0.05)×0 = (0,0)

　　t=1: p(1) = (0,0) + (0.1,0.05)×1 = (0.1,0.05)

　　t=2: p(2) = (0,0) + (0.1,0.05)×2 = (0.2,0.10)

　　2. 静态线段 → 两点协调规则

　　规则名: 点_匀速移动

　　元信息:

　　对象类型: "动态点"

　　规则精度: "平面浮点32位"

　　输入接口: [初始位置, 速度向量]

　　输出接口: [当前位置]

　　定义域: t ∈ [0, T_max]

　　生成函数:

　　p(t) = 初始位置 + 速度向量 × t

　　执行过程示例:

　　t=0: p(0) = (0,0) + (0.1,0.05)×0 = (0,0)

　　t=1: p(1) = (0,0) + (0.1,0.05)×1 = (0.1,0.05)

　　t=2: p(2) = (0,0) + (0.1,0.05)×2 = (0.2,0.10)

　　2. 静态线段 → 两点协调规则

　　系统名: 动态线段_AB

　　组成规则:

　　- 点A: 点_匀速移动(初始=(0,0), 速度=(0.1,0))

　　- 点B: 点_匀速移动(初始=(1,0), 速度=(0,0.05))

　　协调关系:

　　- 时间脉冲完全同步

　　- 每个时刻t，定义“线段AB”为事件对 (A(t), B(t))

　　衍生规则:

　　规则_线段长度:

　　输入: [A(t), B(t)]

　　输出: 距离 = ||B(t) - A(t)||

　　执行过程:

　　t=0: A(0)=(0,0), B(0)=(1,0) → 距离=1.0

　　t=1: A(1)=(0.1,0), B(1)=(1,0.05) → 距离≈0.927

　　3. 静态圆 → 参数化生成规则

　　规则名: 圆_参数生成

　　元信息:

　　对象类型: "动态圆轨迹"

　　规则精度: "极坐标浮点"

　　输入接口: [圆心, 半径, 角速度]

　　定义域: t ∈ [0, T_max] 且 θ ∈ [0, 2π]

　　生成函数:

　　令 θ(t) = 角速度 × t

　　点(t) = 圆心 + (半径×cosθ(t), 半径×sinθ(t))

　　执行示例 (圆心=(0,0), 半径=1, 角速度=0.1):

　　t=0: θ=0 → 点(0) = (1,0)

　　t=1: θ=0.1 → 点(1) ≈ (0.995, 0.0998)

　　t=2: θ=0.2 → 点(2) ≈ (0.980, 0.198)

　　第二步：几何变换的动态实现

　　平移的渐进实现

　　规则名: 点_渐进平移

　　元信息:

　　输入接口: [初始位置, 目标位置, 总时间步数N]

　　定义域: t ∈ [0, N]

　　生成函数:

　　位移向量 = (目标位置 - 初始位置) / N

　　p(t) = 初始位置 + 位移向量 × t

　　哲学意义:

　　平移不是“瞬间移动”，而是“以小步逐步移动”。在足够小的时间尺度下，任何连续运动都是由这样的离散步骤构成的。

　　旋转的动态过程

　　系统名: 三角形_绕点旋转

　　组成:

　　- 三角形ABC: 三个顶点规则

　　- 旋转中心: 固定点O

　　- 旋转规则: 每个顶点以O为中心，以相同角速度旋转

　　协调机制:

　　三个顶点的旋转规则必须同步，保持三角形形状不变

　　需要隐性频率转换器确保三个顶点的角度更新完全一致

　　第三步：几何证明的动态重述

　　案例：证明“三角形内角和为180度”的动态版本

　　证明目标: 验证任意三角形ABC的内角和接近π(在给定精度内)

　　动态证明系统:

　　阶段1: 三角形生成

　　- 规则_随机三角形: 生成三个不共线的点A,B,C

　　- 规则_测量角度: 分别计算∠A, ∠B, ∠C

　　阶段2: 角度和计算

　　- 规则_角度求和: S = ∠A + ∠B + ∠C

　　阶段3: 与π比较

　　- 规则_π提供者: 根据所需精度，提供π的近似值(如π≈3.14159)

　　- 规则_比较: |S - π| < ε ?

　　阶段4: 统计验证

　　- 重复运行此系统N次(生成N个随机三角形)

　　- 规则_统计: 计算成功率

　　- 结论: 如果成功率>阈值，则在当前精度ε下“证明”成立

　　哲学含义:

　　传统证明是“一次性、绝对的”。

　　动态证明是“可重复、有限精度的统计验证过程”。

　　这更符合实际测量和计算机验证的现实。

　　第四步：构建“动态欧几里得几何”演示系统

　　让我们将以上想法整合，构建一个完整的演示：

　　系统名称：动态几何工作台 v1.0

　　核心组件：

　　基本对象库：

　　动态点(匀速、加速、圆周运动)

　　动态线(由两点定义，实时更新)

　　动态圆(参数化生成)

　　变换操作库：

　　渐进平移(分N步完成)

　　渐进旋转(分度旋转)

　　渐进缩放(逐步变大/小)

　　测量与验证库：

　　实时距离测量

　　实时角度测量

　　几何关系验证(平行、垂直、相切等)

　　协调机制：

　　时间脉冲同步器

　　精度协调器(统一所有计算到相同精度)

　　数据流协调(确保测量时使用同一时刻的数据)

　　演示场景：

　　动态三角形：三个点以不同速度移动，实时显示其边长、角度、面积的变化。

　　滚动的圆：一个圆沿直线滚动，其上一点画出摆线轨迹。

　　分割线定理的动态验证：在变化的三角形中，实时验证角平分线定理是否成立(在给定精度内)