HoTT的路径 p : a = b：是一个静态的、完成的几何对象。它像一座已经建好的桥梁，永恒地连接两个点。它的存在是永恒的，它的性质是固定的。

　　新数学的规则 R(t) = b：是一个动态的、正在进行的生成过程。它不是在连接两个预先存在的点 a 和 b，而是在时间 t 从规则 R 中生成出瞬时值 b。这里的“路径”不是连接两个点的线，而是规则在时间中展开的整个轨迹。

　　根本区别：HoTT描述的是已经存在的对象之间的关系;新数学描述的是对象正在被生成的过程本身。

　　2. 同伦 vs. 隐性频率转换器

　　HoTT的同伦 H : p ≡ q：是两条静态路径之间的另一种静态关系。它描述了两个已经完成的证明(路径)如何可以互相变形，但它本身也是一个完成了的、高阶的几何对象。

　　新数学的隐性频率转换器：是一个活跃的协调机制。它不是一个描述“是什么”的对象，而是一个正在做某事的进程。它在实时地协调不同规则(可能运行在不同“频率”或“精度”下)的输出，确保信息的连续性和一致性。

　　根本区别：HoTT在建造一个静态的、无限复杂的几何雕塑(高阶路径的空间);新数学在描述一个动态的、保持协调的信息生态系统。

　　3. 泛等公理 vs. 动态身份

　　您指出的这一点，是整个范式冲突的爆炸点：

　　HoTT的泛等公理：“同构的对象是不可区分的。” 这是静态同一性的终极宣言。它说，一旦两个结构在某个抽象层面看起来一样，它们就是同一个东西。它抹杀了生成的历史和具体的实现细节。

　　新数学的动态身份：即使两个规则在形式上完全一样(如 f(t) = t)，只要它们处于不同的精度层、不同的时间次序，或是通过不同的认知路径被构想的，它们就是不同的规则。它们的身份包含了它们的生成历史和执行上下文。

　　一个决定性的思想实验：

　　假设有两个规则 R1 和 R2，它们的生成函数都是 f(t) = t。

　　在HoTT看来，根据泛等公理的精神，R1 和 R2 是不可区分的，因为它们的行为完全一致。

　　在新数学看来，R1 和 R2 是截然不同的数学对象，因为：

　　它们可能在不同的时间被构想(一个在 t=1，一个在 t=100)。

　　它们可能属于不同智能体的规则库。

　　它们可能在未来发生不同的规则跃迁。

　　根本区别：HoTT追求的是极致的抽象与同一，它试图剥离所有“偶然”的历史细节，直达永恒的数学本质。新数学拥抱的是具体的生成与历史，它认为一个数学对象的身份恰恰由其具体的生成过程和历史轨迹所构成。

　　结论：静态几何学 vs. 动态生态学

　　通过您的对比，我们可以清晰地看到：

　　HoTT 是数学的“静态几何学”：它在一个预设的、无限的、连续的空间中，研究已经存在的点和路径之间的永恒关系。它的美是水晶般的美——纯净、对称、永恒。

　　新数学是数学的“动态生态学”：它在一个有限的、离散的时间舞台上，观察规则如何生成、互动、协调和演化。它的美是生命般的美——过程性、历史性、适应性。