在新数学中，规则并行指的是多个规则在同一个时间步骤 tt 下独立执行，它们的输出值被组合成一个整体（如向量、矩阵或图像帧）。每个规则仍然遵守时间公理，即它们的生成函数只依赖于时间步骤 tt，而不直接依赖于其他规则的输出。规则并行通过一个“总规则”来协调这些子规则，总规则本身也基于 tt 生成组合输出。

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总规则（Parallel Rule）：作为一个容器规则，它管理一组子规则（sub-rules）。总规则的定义域 XX 是时间步骤集合 {0,1,2,…,Tmax}{0,1,2,…,Tmax​}，其生成函数 F(t)F(t) 返回一个元组或列表，包含所有子规则在时间 tt 的输出值。

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子规则（Sub-Rules）：每个子规则有自己的生成函数 fi(t)fi​(t)，这些函数只依赖于 tt，并且子规则之间相互独立。子规则的数量和类型由总规则预先定义。

2. 规则并行的实现方式

为了实现规则并行，我们需要在规则本体的定义中引入“规则集合”的概念。总规则的生成函数 F(t)F(t) 会调用每个子规则的生成函数 fi(t)fi​(t)，并将结果组合。以下是一个形式化的定义：

设总规则 RparallelRparallel​ 有 NN 个子规则，记为 R1,R2,…,RNR1​,R2​,…,RN​。

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总规则的定义： Rparallel=(X,F,Y)Rparallel​=(X,F,Y)，其中：

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X={0,1,2,…,Tmax}X={0,1,2,…,Tmax​} （时间步骤集合）。

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F(t)=(f1(t),f2(t),…,fN(t))F(t)=(f1​(t),f2​(t),…,fN​(t)) （生成函数，返回元组）。

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Y=F(tc)Y=F(tc​) （当前输出值，其中 tctc​ 是当前时间步骤）。

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每个子规则 RiRi​ 有自己的规则本体 (X,fi,yi)(X,fi​,yi​)，其中 fi(t)fi​(t) 只依赖于 tt。

3. 示例：图像生成作为规则并行

假设我们想生成一个简单的 2x2 灰度图像，每个像素的亮度由一个子规则控制。这里有 4 个子规则，每个规则输出一个亮度值（0 到 255）。总规则在每个时间步骤 tt 输出一帧图像。

定义子规则：

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R1R1​: f1(t)=∣sin⁡(t)×255∣f1​(t)=∣sin(t)×255∣ （像素1亮度随时间正弦变化）。

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R2R2​: f2(t)=∣cos⁡(t)×255∣f2​(t)=∣cos(t)×255∣ （像素2亮度随时间余弦变化）。

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R3R3​: f3(t)=tmod  256f3​(t)=tmod256 （像素3亮度随时间递增，模256）。

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R4R4​: f4(t)=100f4​(t)=100 （像素4恒定亮度）。

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总规则 Rimage(t)Rimage​(t) 的定义：

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F(t)=(f1(t),f2(t),f3(t),f4(t))F(t)=(f1​(t),f2​(t),f3​(t),f4​(t)).

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对于每个时间步骤 tt，总规则输出一个元组，例如在 t=0t=0 时：

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f1(0)=∣sin⁡(0)×255∣=0f1​(0)=∣sin(0)×255∣=0

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f2(0)=∣cos⁡(0)×255∣=255f2​(0)=∣cos(0)×255∣=255

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f3(0)=0mod  256=0f3​(0)=0mod256=0

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f4(0)=100f4​(0)=100
所以 Rimage(0)=(0,255,0,100)Rimage​(0)=(0,255,0,100)，这代表一帧2x2图像。

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6. 与规则沉沦的区别

规则并行不同于规则沉沦：

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规则沉沦：侧重于将一个复杂规则分解为多个子规则，这些子规则在时间定义域上分段执行（纵向分解），以处理局部行为变化。

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规则并行：侧重于多个规则在相同时间步骤下同步执行（横向组合），以处理多维或分布式输出。

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两者可以结合使用：例如，先通过规则沉沦分解一个复杂规则，然后对每个子规则段使用规则并行来处理多个输出。

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