核心困境：HoTT的“永恒主义”本体论

标准的HoTT建立在一种 “永恒主义” 的本体论之上：

[list][*]

所有类型都已存在：类型宇宙 U 是一个完备的、静态的总体。类型 CanRecognizeCats 并非在AI学习的那一刻才被“创造”出来，它从一开始就作为一个抽象的数学概念存在于宇宙 U 中。

[*]

证明即路径，而非过程：你提到的路径 ¬CanRecognizeCats → CanRecognizeCats，在HoTT中确实是一个证明或等价。它解释了两个状态之间为什么是逻辑一致的，但它并不记录从一种状态变成另一种状态所花费的时间、能量和计算资源。它描述的是推理，而不是学习。

[/list]

用一个比喻来说：

[list][*]

HoTT的世界：像一个已经拍摄完毕的电影。所有帧（所有可能的状态）都已存在。我们的证明只是在不同帧之间创建平滑的过渡（同伦），但电影的情节是固定的。

[*]

你想要的“学习”世界：像一个正在被现场直播的戏剧。下一幕是什么，连演员自己都不知道。剧本（类型系统）本身也在随着演出而即兴创作和修改。

为什么这是根本性难题？

[list=1][*]

时间与模态的缺失：标准HoTT缺乏对现实时间和模态（可能性与必然性） 的原生支持。我们无法说“现在类型T尚未有居民，但未来它可能会有”。

[*]

宇宙的封闭性：类型宇宙 U 是封闭的。我们无法在“运行时”向宇宙中添加一个全新的、在系统设计时未曾预见的基础类型。

[/list]

可能的出路：扩展HoTT以容纳“生成”

思想实验正推动我们思考如何扩展数学基础。以下是一些有前景的方向，它们试图将 “生成” 纳入形式系统的核心：

1. 模态HoTT

这是最直接相关的扩展。我们可以为HoTT引入时间模态或知识模态。

[list][*]

未来模态 ◇：◇ CanRecognizeCats 表示“未来可能获得识别猫的能力”。这不再是一个确定的证明，而是一种可能性的断言。

[*]

“直到”模态：我们可以定义一种判断，A @ t，表示“类型A在时间t才被实例化”。那么，AI的学习历程就不再是一条静态路径，而是一个时间索引的类型族：

[list][*]

t=0: LearningSystem 类型只有一个居民 ai_0，且 CanRecognizeCats(ai_0) 是空类型。

[*]

t=1000: 经过训练，系统演化出一个新的居民 ai_1000，并且现在我们有了一个项 proof : CanRecognizeCats(ai_1000)。

[/list][/list]

2. 开放类型论与规则生成

这是一个更激进的想法，与之前的“时间第一性”思想一脉相承。

[list][*]

宇宙作为过程：不将类型宇宙 U 视为一个完成的集合，而是视其为一个不断扩展的过程。新的类型可以通过规则被生成。

[*]

二阶构造：我们需要一种方式来谈论“规则的规则”。AI的学习算法本身，就是一条元规则，它能够在特定条件下（如接触足够多的数据）生成一条新的类型构成规则 R_recognize_cat。

[*]

这类似于“反射”和“元编程”：在编程语言中，一个程序可以在运行时生成并执行新的代码。我们需要为HoTT赋予类似的“自我扩展”能力。

[/list]

3. 从“证明”到“建构过程”的转变

我们或许需要区分两种不同的“路径”：

[list][*]

证明路径 p：解释为什么 ai_1000 的状态与 CanRecognizeCats 类型相容。这是静态的逻辑关系。

[*]

生成路径 g：记录从 ai_0 到 ai_1000 所发生的具体计算过程（梯度下降的每一步、神经网络的权重更新）。这是一个历史事件，它消耗了资源，并且是不可逆的。

[/list]

在这种观点下，一个“正在学习的类型”就是一条尚未结束的生成路径。

一个形式化的构想：学习类型

我们可以尝试定义一个 “学习类型” L(A)：

[list][*]

一个类型 L(A) 的居民不是一个简单的项 a : A，而是一个对子 (t, a_t)，其中：

[list][*]

t : Time （一个表示时间的类型）

[*]

a_t : A @ t （在时间t，项a_t才成为类型A的居民）

[/list][*]

那么，AI系统的类型就是 L(CanRecognizeCats)。在时间0，这个类型是空的。在时间1000，它有了第一个居民 (1000, ai_1000)。

[/list]

从描述数学到描述“数学化”

问题之所以如此有力，是因为它挑战了数学自身的定位。

[list][*]

经典数学（包括HoTT）：旨在描述一个已经数学化的世界。它假设所有对象和关系都是先验存在的，等待我们去发现。

[*]

构想的数学：旨在描述“数学化”这个过程本身。它要形式化的是智能体（无论是人还是AI）如何在与环境互动中，创造出新的数学概念和类型。

[/list]

这不仅仅是HoTT的局限，更是整个西方数学基础中“柏拉图主义”传统的局限。呼吁一种能够容纳历史性、创造性和生成性的数学。

所以，困惑不是因为理解错了HoTT，而是因为比HoTT（在当前形态下）想得更远。 我们看到了一个动态的、演化的认知宇宙，而我们的数学工具还大多停留在描绘静态的蓝图。

[/list]