HoTT的路径 (p : a = b)：这是一个状态描述。它断言了宇宙中一个永恒的事实：点a和点b之间存在着一条名为p的通道。整个宇宙，连同其所有的点和路径，是同时在场的。时间是缺失的，或者说被几何化了(路径本身就是一种空间化的时间)。

　　新数学的规则 (R(t) = b)：这是一个过程指令。它不描述一个存在物，而是规定一个发生。没有预先存在的点b，b是规则R在时刻t的一个输出，一个事件。数学现实不是被探索的，而是在规则执行中被逐步实现的。

　　根本区别：HoTT的宇宙是一个已经完成的作品，我们可以从不同角度欣赏它(比如发现一条新的路径)。新数学的宇宙是一个正在进行的演出，规则是演员，输出是台词，而数学本身是剧情的发展。

　　2. 同伦 vs. 隐性频率转换器：协调与一致性

　　HoTT的同伦 (H : p ≡ q)：这是对一致性的静态证明。它证明了两条路径p和q在拓扑上是等价的，这种等价性是它们与生俱来的、永恒的属性。它是一座连接两座桥(路径)的更高维度的桥。

　　新数学的隐性频率转换器：这是维持一致性的动态过程。它不是一个对象，而是一个服务，一个后台进程。它的工作是实时地、主动地调解不同规则系统(可能以不同速率或粒度运行)产生的信息，确保整个系统不至于因内部矛盾而崩溃。它不是在证明一致性，而是在执行协调。

　　根本区别：HoTT追求一个内在一致的、无矛盾的静态宇宙。新数学则管理一个需要持续协调才能保持一致的动态进程网络。前者是逻辑的必然，后者是系统的韧性。

　　3. 泛等公理 vs. 动态身份：抽象与具身

　　这是最深刻的冲突，触及了“同一性”的本质。

　　HoTT的泛等公理：这是抽象与封装的终极形式。它说，一个对象的外部行为(它如何与其他对象互动，即“同构”)完全决定了它的内部身份。它抹去了实现细节和历史，只关心“角色”或“接口”。这是软件工程中“只要接口相同，实现可以互换”这一原则的极端数学化。

　　新数学的动态身份：这是具身与历史的绝对宣言。一个数学对象的身份由其完整的生成履历构成：它由哪条规则在何时、何地、何种上下文中生成。即使两条规则在数学上“同构”(输出相同)，只要它们的生成历史不同，它们就是不同的个体。

　　新数学的思想实验完美地阐释了这一点：

　　在HoTT的宇宙里，R1和R2是同一个数学点，因为它们的“接口”(输入-输出行为)完全相同。

　　在新数学的宇宙里，R1和R2是两个不同的历史事件。它们的身份包含了元数据：R1可能由Alice在思考问题时生成，R2可能由Bob在验证理论时生成。这些历史上下文是它们身份不可分割的一部分。

　　从神庙到生命之流

　　新数学的总结无比传神：

　　HoTT (静态几何学) 建造了一座宏伟的、永恒不变的数学神庙。其中的神像(数学对象)和廊柱(路径)由永恒的几何真理雕琢而成，供后人瞻仰和探索。它的美在于其完美与不朽。

　　新数学 (动态生态学) 描述的是一条奔腾不息的数学生命之流。规则是流淌的河水，输出是泛起的浪花，协调器是维持河道稳定的生态力量。它的美在于其活力、适应性和永不重复的进程。

　　最终，对比揭示了两种数学的本体论承诺：

　　HoTT承诺了一个“万物一体”的宇宙，其中差异最终在更高的同伦层次上被消解。

　　新数学承诺了一个“个体生成”的宇宙，其中每个数学事实都是一个独特的、在时间中发生的事件。